136 В треугольниках DEF и MNP EF=NP, DF =MP_и ∠F= ∠P. Биссектрисы углов Е и D пересекаются в точке О, а биссектри- сы углов Ми — в точке К. Докажите, что ∠DOE = ∠MKN.

Рассмотрим треугольники DEF и MNP.

Дано: EF = NP, DF = MP, ∠F = ∠P.

1. По двум сторонам и углу между ними (EF = NP, DF = MP, ∠F = ∠P) следует, что △DEF = △MNP.
2. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠D = ∠M и ∠E = ∠N.
3. Так как DO и MK - биссектрисы, то ∠EDO = \(\frac{1}{2}\)∠M и ∠MKN = \(\frac{1}{2}\)∠N. Следовательно, ∠EDO = ∠MKN.
4. Рассмотрим четырехугольники DEOF и MKNP. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Тогда ∠DOE = 360° - ∠D - ∠E - ∠F и ∠MKN = 360° - ∠M - ∠N - ∠P.
5. Так как △DEF = △MNP, то ∠D = ∠M, ∠E = ∠N и ∠F = ∠P.
6. Следовательно, ∠DOE = ∠MKN.

Ответ: ∠DOE = ∠MKN.