135 В треугольниках АВС и А,В,С, отрезки СО и С₁О₁ дианы, ВС = В1С1, ∠B = ∠B₁ и ∠C=∠C1. Докажите, что: a) △ACO = △A₁C1O1; б) △BCO = △B1C101.

Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁.

Дано: BC = B₁C₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁.

а) Докажем, что △ACO = △A₁C₁O₁.

1. Так как CO и C₁O₁ - медианы, то AO = \(\frac{1}{2}\)AC и A₁O₁ = \(\frac{1}{2}\)A₁C₁.
2. Из равенства треугольников ABC и A₁B₁C₁ следует, что AC = A₁C₁ (как стороны, лежащие против равных углов). Тогда \(\frac{1}{2}\)AC = \(\frac{1}{2}\)A₁C₁, то есть AO = A₁O₁.
3. Рассмотрим треугольники BCO и B₁C₁O₁. В них: BC = B₁C₁ (по условию), ∠B = ∠B₁ и ∠C = ∠C₁ (по условию). Следовательно, △BCO = △B₁C₁O₁ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам). Из равенства треугольников следует равенство углов: ∠BOC = ∠B₁O₁C₁.
4. Углы, смежные с равными, равны, то есть ∠AOC = ∠A₁O₁C₁ (∠AOC = 180° - ∠BOC, ∠A₁O₁C₁ = 180° - ∠B₁O₁C₁).
5. Рассмотрим треугольники ACO и A₁C₁O₁. В них: AO = A₁O₁, CO = C₁O₁ (так как △BCO = △B₁C₁O₁), ∠AOC = ∠A₁O₁C₁. Следовательно, △ACO = △A₁C₁O₁ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

б) Докажем, что △BCO = △B₁C₁O₁.

В треугольниках BCO и B₁C₁O₁: BC = B₁C₁ (по условию), ∠B = ∠B₁ и ∠C = ∠C₁ (по условию). Следовательно, △BCO = △B₁C₁O₁ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).

Ответ: a) △ACO = △A₁C₁O₁; б) △BCO = △B₁C₁O₁.