10. Докажите, что если числа a², b² и c² составляют арифметическую прогрессию, то числа \(\frac{1}{b+c}\), \(\frac{1}{a+c}\) и \(\frac{1}{a+b}\) также составляют арифметическую прогрессию.

Ответ: Доказано

Решение:

• Дано, что a², b² и c² составляют арифметическую прогрессию. Это означает, что b² - a² = c² - b². Отсюда следует, что 2b² = a² + c².
• Чтобы доказать, что \(\frac{1}{b+c}\), \(\frac{1}{a+c}\) и \(\frac{1}{a+b}\) также составляют арифметическую прогрессию, нужно показать, что: \[\frac{1}{a+c} - \frac{1}{b+c} = \frac{1}{a+b} - \frac{1}{a+c}\]
• Преобразуем это выражение: \[\frac{2}{a+c} = \frac{1}{b+c} + \frac{1}{a+b}\] \[\frac{2}{a+c} = \frac{a+b+b+c}{(b+c)(a+b)}\] \[\frac{2}{a+c} = \frac{a+2b+c}{(b+c)(a+b)}\]
• Умножим обе части на (a+c)(b+c)(a+b): \[2(b+c)(a+b) = (a+c)(a+2b+c)\] \[2(ab+b²+ac+bc) = a²+2ab+ac+ac+2bc+c²\] \[2ab+2b²+2ac+2bc = a²+2ab+2ac+2bc+c²\]
• Сократим подобные члены: \[2b² = a²+c²\]
• Мы получили исходное условие, что 2b² = a²+c². Следовательно, если a², b² и c² составляют арифметическую прогрессию, то и числа \(\frac{1}{b+c}\), \(\frac{1}{a+c}\) и \(\frac{1}{a+b}\) также составляют арифметическую прогрессию.

Ответ: Доказано