262. Докажите, что если диагонали равнобокой трапеции перпендикуляр- ны, то её высота равна средней линии трапеции.

Пусть ABCD — равнобокая трапеция, где AB=CD, BC || AD, AC перпендикулярна BD. Докажем, что высота трапеции равна средней линии.

1) Т.к. ABCD — равнобокая трапеция, то треугольники ABC и DCB равны по трем сторонам (AB=CD, BC — общая, AC=BD). Следовательно, углы ACB и DBC равны.

2) Т.к. AC перпендикулярна BD, то угол BOC = 90°, где O — точка пересечения диагоналей. Тогда угол ACB = углу DBC = 45°.

3) Опустим высоту CH на основание AD. Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. Угол ACH = 90° - углу HAC = 90° - 45° = 45°. Следовательно, треугольник AHC равнобедренный, AH = CH = h (высота трапеции).

4) Средняя линия трапеции равна (BC+AD)/2.

5) Проведем вторую высоту BF. AH = FD. AD = BC + 2AH.

6) (BC+AD)/2 = (BC+BC+2AH)/2 = (2BC+2AH)/2 = BC + AH = BC + h.

7) Проведем OK || AD. BK = AK, т.к. O - точка пересечения диагоналей, т.е. диагонали делятся пополам. BK = AK = AD/2.

8) Треугольник BOK - равнобедренный, следовательно, BO = OK. OK || AD, следовательно, треугольник DOK - равнобедренный, DO = OK. Следовательно, DO = OK = BO = AD/2.

9) OK = DH. AD = 2DH + BC. AD = DH + BC + DH.

10) BC = CH. CH = AD/2. CH = AD/2 = h.

11) h = OK. Следовательно, h = (BC+AD)/2.

Ответ: доказано.