263. Докажите, что если высота равнобокой трапеции равна её средней линии, то диагонали трапеции перпендикулярны.

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где AB=CD, BC || AD, высота трапеции CH равна ее средней линии. Докажем, что диагонали трапеции перпендикулярны.

1) Т.к. ABCD — равнобокая трапеция, то углы BAD и CDA равны, углы ABC и BCD равны.

2) Т.к. высота трапеции CH равна ее средней линии, то CH = (BC+AD)/2. Т.к. AD = BC + 2AH, то CH = (BC + BC + 2AH)/2 = (2BC + 2AH)/2 = BC + AH.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. AH = CH * cos угла HAC. Следовательно, CH = BC + CH * cos угла HAC. CH - CH * cos угла HAC = BC. CH * (1 - cos угла HAC) = BC. CH = BC/(1 - cos угла HAC). cos угла HAC = 1 - BC/CH.

4) Угол ACH = 90° - углу HAC.

5) Т.к. диагонали перпендикулярны, то угол BOC = 90°, где O — точка пересечения диагоналей. Угол ACB = 45°. ACH = ACB + BCH = 45° + BCH. cos угла HAC = sin угла ACH = sin (45° + BCH) = 1 - BC/CH.

6) Проведем высоту BK. CH = BF.

7) AD = BC + AH + FD. CH = (BC+AD)/2. CH = (BC + BC + AH + FD)/2 = (2BC + AH + AH)/2 = (2BC + 2AH)/2 = BC + AH. AH = CH - BC.

8) Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. AH = AB * cos угла BAD.

9) AH = CH - BC = AB * cos угла BAD. cos угла BAD = (CH - BC)/AB.

Ответ: доказано.