Докажите, что если векторы AB и CD равны, то середины отрезков AD и BC совпадают. Докажите обратное утверждение: если середины отрезков AD и BC совпадают, то AB = CD.

Обозначим через O середину отрезка AD, а через O₁ — середину отрезка BC.

Прямое утверждение. Из равенства векторов \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) следует:

\[\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB},\qquad \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DC}.\]

Так как \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\), то \(\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{AB}\). Кроме того, для середины AD выполняется \(\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OD}\). Поэтому

\[\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OC}.\]

Следовательно, точка O является также серединой BC. Середины отрезков AD и BC совпадают.

Обратное утверждение. Пусть середины AD и BC совпадают в точке O. Тогда \(\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OD}\) и \(\overrightarrow{OB}=-\overrightarrow{OC}\). Поэтому

\[\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{DC}.\]

Следовательно, \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\) при стандартном обозначении направленных отрезков.

Ответ: оба утверждения доказаны.