7. Докажите, что многочлен х² - 4x + y² — бу + 15 при любых значениях входящих в него переменных принимает положи-

Докажем, что многочлен $$x^2 - 4x + y^2 - 6y + 15$$ принимает положительные значения при любых значениях переменных $$x$$ и $$y$$.

Выделим полные квадраты:

$$x^2 - 4x + y^2 - 6y + 15 = (x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) + 15 - 4 - 9 = (x - 2)^2 + (y - 3)^2 + 2$$

Так как $$ (x - 2)^2 \ge 0$$ и $$(y - 3)^2 \ge 0$$ при любых $$x$$ и $$y$$, то $$ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 + 2 \ge 2 > 0$$.

Таким образом, многочлен $$x^2 - 4x + y^2 - 6y + 15$$ всегда принимает положительные значения.

Ответ: Доказано, что многочлен принимает положительные значения при любых значениях переменных.