Докажите, что многочлен х²+ y² + 1 при любых и у принимает положительные значения.

Чтобы доказать, что многочлен $$x^2 + y^2 + 1$$ принимает положительные значения при любых $$x$$ и $$y$$, рассмотрим каждое слагаемое.

1. $$x^2$$ - квадрат любого вещественного числа, а значит, он всегда неотрицателен. То есть, $$x^2 \geq 0$$ для любого $$x$$.

2. $$y^2$$ - квадрат любого вещественного числа, а значит, он всегда неотрицателен. То есть, $$y^2 \geq 0$$ для любого $$y$$.

3. $$1$$ - положительное число.

Сумма двух неотрицательных чисел также неотрицательна. То есть, $$x^2 + y^2 \geq 0$$.

Добавим к этой сумме единицу: $$x^2 + y^2 + 1 \geq 0 + 1$$, следовательно, $$x^2 + y^2 + 1 \geq 1$$.

Так как $$x^2 + y^2 + 1$$ всегда больше или равно 1, то этот многочлен всегда принимает положительные значения при любых значениях $$x$$ и $$y$$.

Ответ: многочлен $$x^2 + y^2 + 1$$ принимает положительные значения при любых x и y.