591. Докажите, что многочлен х²+ y² + 1 при любых значениях х и у принимает положительные значения.

Докажем, что многочлен $$x^2 + y^2 + 1$$ при любых значениях x и y принимает положительные значения.

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $$x^2 \geq 0$$ и $$y^2 \geq 0$$ для любых значений x и y.

Следовательно, $$x^2 + y^2 \geq 0$$

Добавим 1 к обеим частям неравенства:

$$x^2 + y^2 + 1 \geq 0 + 1$$

$$x^2 + y^2 + 1 \geq 1$$

Так как $$x^2 + y^2 + 1$$ больше или равно 1, то многочлен $$x^2 + y^2 + 1$$ всегда принимает положительные значения при любых значениях x и y.

Ответ: Утверждение доказано, многочлен всегда принимает положительные значения.