591. Докажите, что многочлен х²+ y² +1 при любых значениях х и у принимает положительные значения.

Рассмотрим многочлен $$x^2 + y^2 + 1$$.

Квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть для любого $$x$$ выполняется $$x^2 \ge 0$$. Аналогично, для любого $$y$$ выполняется $$y^2 \ge 0$$.

Следовательно, $$x^2 + y^2 \ge 0$$.

Добавим к обеим частям неравенства 1:

$$x^2 + y^2 + 1 \ge 0 + 1$$

$$x^2 + y^2 + 1 \ge 1$$

Таким образом, при любых значениях $$x$$ и $$y$$ значение многочлена $$x^2 + y^2 + 1$$ всегда больше или равно 1, то есть всегда положительно.

Ответ: Многочлен $$x^2 + y^2 + 1$$ всегда принимает положительные значения при любых значениях $$x$$ и $$y$$, так как сумма квадратов двух чисел всегда неотрицательна, и прибавление единицы делает результат строго положительным.