541. Докажите, что не имеет корней уравнение: a) $$x^2 + 1 = 0$$; б) $$2x^6 + 3x^4 + x^2 + 1 = 0$$.

**a) $$x^2 + 1 = 0$$** $$x^2 = -1$$ Так как квадрат любого вещественного числа неотрицателен, то уравнение $$x^2 = -1$$ не имеет вещественных корней. Доказано. **б) $$2x^6 + 3x^4 + x^2 + 1 = 0$$** Заметим, что все степени $$x$$ четные, а коэффициенты положительные. Поэтому каждый член уравнения, кроме, возможно, $$x$$, неотрицателен. Чтобы сумма неотрицательных чисел равнялась нулю, каждое из них должно равняться нулю. Но в данном случае это невозможно, так как свободный член равен 1. Следовательно, уравнение не имеет вещественных корней. Доказано.