539. Докажите, что при любом натуральном n значение дроби является натуральным числом: a) $$\frac{10^n - 1}{9}$$; б) $$\frac{10^n + 8}{9}$$; в) $$\frac{10^n - 4}{3}$$

**a) $$\frac{10^n - 1}{9}$$** Для любого натурального числа $$n$$, $$10^n$$ представляет собой число, состоящее из единицы и $$n$$ нулей (например, $$10^3 = 1000$$). Когда мы вычитаем 1 из такого числа, получаем число, состоящее из $$n$$ девяток (например, $$1000 - 1 = 999$$). Число, состоящее из $$n$$ девяток, делится на 9, и результат – число, состоящее из $$n$$ единиц (например, $$999 / 9 = 111$$). Следовательно, $$\frac{10^n - 1}{9}$$ является натуральным числом. **б) $$\frac{10^n + 8}{9}$$** Рассмотрим сумму цифр числа $$10^n + 8$$. Число $$10^n$$ имеет сумму цифр 1 (единица и $$n$$ нулей). Следовательно, сумма цифр $$10^n + 8$$ равна $$1 + 8 = 9$$. Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9. Таким образом, $$\frac{10^n + 8}{9}$$ является натуральным числом. **в) $$\frac{10^n - 4}{3}$$** Проверим для нескольких значений $$n$$: * $$n = 1$$: $$\frac{10^1 - 4}{3} = \frac{6}{3} = 2$$ (натуральное число) * $$n = 2$$: $$\frac{10^2 - 4}{3} = \frac{96}{3} = 32$$ (натуральное число) * $$n = 3$$: $$\frac{10^3 - 4}{3} = \frac{996}{3} = 332$$ (натуральное число) Число $$10^n$$ можно представить как $$999...9 + 1$$, где количество девяток равно $$n$$. Тогда $$10^n - 4 = 999...9 - 3$$. Число $$999...9$$ делится на 3, и 3 также делится на 3. Поэтому $$\frac{10^n - 4}{3}$$ всегда является натуральным числом.