408 Докажите, что параллелограмм является ромбом, если: а) ет диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ делит его угол пополам.

а) Докажем, что если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то этот параллелограмм - ромб.

Пусть в параллелограмме ABCD диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, следовательно, AO = OC, BO = OD. Рассмотрим треугольники AOB и BOC. У них AO = OC, BO - общая сторона, ∠AOB = ∠BOC = 90°. Следовательно, ΔAOB = ΔBOC по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует равенство сторон: AB = BC.

В параллелограмме ABCD смежные стороны AB и BC равны, значит, ABCD - ромб.

б) Докажем, что если диагональ параллелограмма делит его угол пополам, то этот параллелограмм - ромб.

Пусть в параллелограмме ABCD диагональ AC делит угол A пополам, то есть ∠BAC = ∠DAC.

∠BCA = ∠DAC как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC. Следовательно, ∠BAC = ∠BCA.

В треугольнике ABC углы при основании AB равны, значит, треугольник ABC равнобедренный. Следовательно, AB = BC.

В параллелограмме ABCD смежные стороны AB и BC равны, значит, ABCD - ромб.

Ответ: доказано, что параллелограмм является ромбом, если: а) его диагонали взаимно перпендикулярны; б) диагональ делит его угол пополам.