400 прямой, являе прямоугольник. Докажите, что если в че то четырёхугольник

Докажите, что если в четырехугольнике диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то четырехугольник - прямоугольник.

Доказательство:

1) Пусть дан четырехугольник ABCD, диагонали AC и BD пересекаются в точке O, AO = OC, BO = OD и AC ⊥ BD.

2) Рассмотрим треугольники AOB и COD. У них AO = OC, BO = OD, ∠AOB = ∠COD (как вертикальные). Следовательно, ΔAOB = ΔCOD по двум сторонам и углу между ними.

3) Из равенства треугольников следует равенство сторон: AB = CD.

4) Аналогично доказывается равенство треугольников BOC и DOA. Из равенства треугольников следует равенство сторон: BC = AD.

5) В четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно равны, значит, ABCD - параллелограмм.

6) Так как диагонали параллелограмма ABCD перпендикулярны, то ABCD - ромб.

7) Так как диагонали ромба ABCD точкой пересечения делятся пополам, то ABCD - прямоугольник.

Что и требовалось доказать.

Ответ: доказано, что если в четырехугольнике диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то четырехугольник - прямоугольник.