587 Докажите, что площадь равностороннего треугольника вычис- a2√3 ляется по формуле S = , где а — сторона треугольника. 4 Найдите площадь равностороннего треугольника, если его сто- рона равна: a) 5 см; б) 1,2 см; в) 2√2 дм.

Доказательство:

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны. Площадь треугольника можно найти по формуле: $$S = \frac{1}{2} a b \sin(\gamma)$$, где a и b - две стороны треугольника, \(\gamma\) - угол между ними.

В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусам, а все стороны равны a. Тогда:

$$S = \frac{1}{2} a a \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} a^2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$

a) Если сторона равна 5 см, то площадь равна:

$$S = \frac{5^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25 \sqrt{3}}{4} \approx 10.83 \text{ см}^2$$

б) Если сторона равна 1,2 см, то площадь равна:

$$S = \frac{1.2^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{1.44 \sqrt{3}}{4} = 0.36 \sqrt{3} \approx 0.62 \text{ см}^2$$

в) Если сторона равна $$2\sqrt{2}$$ дм, то площадь равна:

$$S = \frac{(2\sqrt{2})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{4 \cdot 2 \sqrt{3}}{4} = 2 \sqrt{3} \approx 3.46 \text{ дм}^2$$

Ответ: a) $$\frac{25 \sqrt{3}}{4} \text{ см}^2$$; б) $$0.36 \sqrt{3} \text{ см}^2$$; в) $$2 \sqrt{3} \text{ дм}^2$$