589 По данным катетам а и в прямоугольного треугольника най- дите высоту, проведённую к гипотенузе: a) a = 5, b = 12; б) а = 12, b = 16.

а) Катеты a = 5, b = 12. Найдем гипотенузу c:

$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$

Площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$$. Также, $$S = \frac{1}{2} c h$$, где h - высота, проведенная к гипотенузе.

Тогда, $$h = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 30}{13} = \frac{60}{13} \approx 4.62$$

б) Катеты a = 12, b = 16. Найдем гипотенузу c:

$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$$

Площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2} a b = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96$$. Также, $$S = \frac{1}{2} c h$$, где h - высота, проведенная к гипотенузе.

Тогда, $$h = \frac{2S}{c} = \frac{2 \cdot 96}{20} = \frac{192}{20} = 9.6$$

Ответ: a) $$\frac{60}{13}$$; б) 9.6