593 Найдите площадь трапеции АВCD с основаниями АВ и CD, если: а) АВ = 10 см, BC = DA = 13 см, CD = 20 см; б) ∠C = ∠D= = 60°, AB = BC = 8 см; в) ∠C = ∠D = 45°, AB = 6 см, ВС = 9√2 см.

a) ABCD - равнобедренная трапеция с AB = 10 см, BC = DA = 13 см, CD = 20 см. Проведём высоты BH и AK. Тогда KD = HC = (CD - AB) / 2 = (20 - 10) / 2 = 5 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADK: AD = 13 см, KD = 5 см. По теореме Пифагора:

$$AK^2 = AD^2 - KD^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$$

$$AK = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$

Площадь трапеции:

$$S = \frac{AB + CD}{2} \cdot AK = \frac{10 + 20}{2} \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180 \text{ см}^2$$

б) Трапеция ABCD, углы при основании CD равны 60°, AB = BC = 8 см. Проведём высоты BH и AK. Тогда KD = HC. Так как углы при основании равны 60°, рассмотрим прямоугольный треугольник ADK: AD = BC = 8 см. cos(60°) = KD / AD:

$$KD = AD \cdot \cos(60°) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 \text{ см}$$

По теореме Пифагора: $$AK = \sqrt{AD^2 - KD^2} = \sqrt{8^2 - 4^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ см}$$. Тогда: $$CD = AB + 2 \cdot KD = 8 + 2 \cdot 4 = 16 \text{ см}$$. Площадь трапеции:

$$S = \frac{AB + CD}{2} \cdot AK = \frac{8 + 16}{2} \cdot 4\sqrt{3} = 12 \cdot 4\sqrt{3} = 48\sqrt{3} \text{ см}^2$$

в) Трапеция ABCD, углы при основании CD равны 45°, AB = 6 см, BC = 9√2 см. Проведём высоты BH и AK. Тогда KD = HC. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADK: AD = BC = 9√2 см. Угол D = 45°. cos(45°) = KD / AD:

$$KD = AD \cdot \cos(45°) = 9\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 9 \text{ см}$$

AK = KD = 9 см. CD = AB + 2 \cdot KD = 6 + 2 \cdot 9 = 24 см. Площадь трапеции:

$$S = \frac{AB + CD}{2} \cdot AK = \frac{6 + 24}{2} \cdot 9 = 15 \cdot 9 = 135 \text{ см}^2$$

Ответ: a) 180 $$см^2$$; б) $$48\sqrt{3} \text{ см}^2$$; в) 135 $$см^2$$