599 В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника, если: а) гипотенуза равна 26 см, г = 4 см; б) точка касания делит гипотенузу на отрезки, равные 5 см и 12 см.

а) Пусть гипотенуза c = 26 см, радиус вписанной окружности r = 4 см. Площадь прямоугольного треугольника S = pr, где p - полупериметр. S = (1/2)ab, где a и b - катеты. Полупериметр: p = (a + b + c) / 2. Также, a + b = 2p - c. Площадь S = r(a + b + c) / 2 = 4(a + b + 26) / 2 = 2(a + b + 26).

c^2 = a^2 + b^2. (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = c^2 + 4S. (a + b)^2 = 26^2 + 4 * 2(a + b + 26). (a + b)^2 = 676 + 8(a + b + 26). Пусть x = a + b. x^2 = 676 + 8x + 208. x^2 - 8x - 884 = 0. D = 64 + 4 * 884 = 64 + 3536 = 3600. sqrt(D) = 60. x1 = (8 + 60) / 2 = 34. x2 = (8 - 60) / 2 = -26 (не подходит). Значит, a + b = 34. p = (a + b + c) / 2 = (34 + 26) / 2 = 30. Периметр: 2p = 60 см.

б) Касательная делит гипотенузу на отрезки 5 и 12. Значит, гипотенуза = 17. a = 5 + r, b = 12 + r. c = 17.

(5 + r)^2 + (12 + r)^2 = 17^2. 25 + 10r + r^2 + 144 + 24r + r^2 = 289. 2r^2 + 34r - 120 = 0. r^2 + 17r - 60 = 0. D = 289 + 240 = 529 = 23^2. r = (-17 + 23) / 2 = 3. a = 5 + 3 = 8. b = 12 + 3 = 15. p = (17 + 8 + 15) / 2 = 20.

Периметр: 2p = 40 см.

Ответ: а) 60 см; б) 40 см