651. Докажите, что последовательность (6ₙ) является геометрической прогрессией, и найдите сумму первых n ее членов, если: a) bₙ = 0,2 * 5ⁿ; б) bₙ = 3 * 2ⁿ⁻¹; в) bₙ = 3¹⁺ⁿ.

651. Докажем, что последовательность (bₙ) является геометрической прогрессией и найдем сумму первых n ее членов.

a) bₙ = 0.2 * 5ⁿ

Чтобы доказать, что последовательность является геометрической прогрессией, нужно показать, что отношение любого члена последовательности к предыдущему является постоянным числом. Найдем bₙ₊₁:

bₙ₊₁ = 0.2 * 5ⁿ⁺¹

Теперь найдем отношение bₙ₊₁ к bₙ:

\[\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{0.2 \cdot 5^{n+1}}{0.2 \cdot 5^n} = \frac{5^{n+1}}{5^n} = 5^{n+1-n} = 5\]

Отношение постоянно и равно 5, следовательно, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем q = 5.

Найдем сумму первых n членов геометрической прогрессии по формуле:

\[S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}\]

Найдем первый член последовательности:

b₁ = 0.2 * 5¹ = 1

Тогда сумма первых n членов равна:

\[S_n = \frac{1(5^n - 1)}{5 - 1} = \frac{5^n - 1}{4}\]

б) bₙ = 3 * 2ⁿ⁻¹

Найдем bₙ₊₁:

bₙ₊₁ = 3 * 2⁽ⁿ⁺¹⁾⁻¹ = 3 * 2ⁿ

Теперь найдем отношение bₙ₊₁ к bₙ:

\[\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3 \cdot 2^n}{3 \cdot 2^{n-1}} = \frac{2^n}{2^{n-1}} = 2^{n-(n-1)} = 2\]

Отношение постоянно и равно 2, следовательно, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем q = 2.

Найдем первый член последовательности:

b₁ = 3 * 2¹⁻¹ = 3 * 2⁰ = 3 * 1 = 3

Тогда сумма первых n членов равна:

\[S_n = \frac{3(2^n - 1)}{2 - 1} = 3(2^n - 1)\]

в) bₙ = 3¹⁺ⁿ

Найдем bₙ₊₁:

bₙ₊₁ = 3¹⁺⁽ⁿ⁺¹⁾ = 3ⁿ⁺²

Теперь найдем отношение bₙ₊₁ к bₙ:

\[\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{3^{n+2}}{3^{n+1}} = 3^{(n+2)-(n+1)} = 3\]

Отношение постоянно и равно 3, следовательно, последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем q = 3.

Найдем первый член последовательности:

b₁ = 3¹⁺¹ = 3² = 9

Тогда сумма первых n членов равна:

\[S_n = \frac{9(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{9(3^n - 1)}{2}\]