657. В геометрической прогрессии, все члены которой положительны, сумма первых двух членов равна 8, а сумма третьего и четвертого членов равна 72. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, надо сложить, чтобы получить в сумме 242?

657. В геометрической прогрессии, все члены которой положительны, сумма первых двух членов равна 8, а сумма третьего и четвертого членов равна 72. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого, надо сложить, чтобы получить в сумме 242?

b₁ + b₂ = 8

b₃ + b₄ = 72

b₁ + b₁q = 8

b₁q² + b₁q³ = 72

b₁(1 + q) = 8

b₁q²(1 + q) = 72

Разделим второе уравнение на первое:

q² = 72/8 = 9

q = ±3

Так как все члены положительны, то q = 3.

b₁(1 + 3) = 8

4b₁ = 8

b₁ = 2

Теперь найдем количество членов, сумма которых равна 242:

\[S_n = \frac{b₁(q^n - 1)}{q - 1}\] \[242 = \frac{2(3^n - 1)}{3 - 1}\] \[242 = \frac{2(3^n - 1)}{2}\] \[242 = 3^n - 1\] \[3^n = 243\] \[3^n = 3⁵\]

n = 5