652. Найдите сумму первых n членов геометрической прогрессии: а) 1; 3; 3²; ... ; б) 2; 2²; 2³; ... ; в) 1/2; -1/4; 1/8; ... ; г) 1; -x; x²; ... , где x ≠ -1; д) 1; x²; x⁴; ... , где x ≠ ±1; е) 1; -x³; x⁶; ... , где x ≠ -1.

652. Найдем сумму первых n членов геометрической прогрессии для каждого случая:

a) 1; 3; 3²; ...

Здесь b₁ = 1, q = 3. Тогда:

\[S_n = \frac{1(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3^n - 1}{2}\]

б) 2; 2²; 2³; ...

Здесь b₁ = 2, q = 2. Тогда:

\[S_n = \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = 2(2^n - 1)\]

в) 1/2; -1/4; 1/8; ...

Здесь b₁ = 1/2, q = -1/2. Тогда:

\[S_n = \frac{\frac{1}{2}((-\frac{1}{2})^n - 1)}{-\frac{1}{2} - 1} = \frac{\frac{1}{2}((-\frac{1}{2})^n - 1)}{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{3}((-\frac{1}{2})^n - 1)\]

г) 1; -x; x²; ... , где x ≠ -1

Здесь b₁ = 1, q = -x. Тогда:

\[S_n = \frac{1((-x)^n - 1)}{-x - 1} = \frac{(-x)^n - 1}{-x - 1} = \frac{1 - (-x)^n}{x + 1}\]

д) 1; x²; x⁴; ... , где x ≠ ±1

Здесь b₁ = 1, q = x². Тогда:

\[S_n = \frac{1((x^2)^n - 1)}{x^2 - 1} = \frac{x^{2n} - 1}{x^2 - 1}\]

e) 1; -x³; x⁶; ... , где x ≠ -1

Здесь b₁ = 1, q = -x³. Тогда:

\[S_n = \frac{1((-x^3)^n - 1)}{-x^3 - 1} = \frac{(-x^3)^n - 1}{-x^3 - 1} = \frac{1 - (-x^3)^n}{x^3 + 1}\]