653. Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии (bn), если: а) b₇ = 72,9, q = 1,5; б) b₅ = 16/9, q = 2/3.

653. Найдем сумму первых семи членов геометрической прогрессии.

a) b₇ = 72.9, q = 1.5

Сначала найдем первый член прогрессии, используя формулу bₙ = b₁ * q^(n-1):

b₇ = b₁ * q⁶

72.9 = b₁ * (1.5)⁶

b₁ = 72.9 / (1.5)⁶ = 72.9 / 11.390625 = 6.4

Теперь найдем сумму первых семи членов:

\[S₇ = \frac{b₁(q⁷ - 1)}{q - 1} = \frac{6.4((1.5)⁷ - 1)}{1.5 - 1} = \frac{6.4(17.0859375 - 1)}{0.5} = \frac{6.4 * 16.0859375}{0.5} = 205.9\]

б) b₅ = 16/9, q = 2/3

Сначала найдем первый член прогрессии, используя формулу bₙ = b₁ * q^(n-1):

b₅ = b₁ * q⁴

16/9 = b₁ * (2/3)⁴

16/9 = b₁ * (16/81)

b₁ = (16/9) / (16/81) = (16/9) * (81/16) = 9

Теперь найдем сумму первых семи членов:

\[S₇ = \frac{b₁(q⁷ - 1)}{q - 1} = \frac{9((\frac{2}{3})⁷ - 1)}{\frac{2}{3} - 1} = \frac{9(\frac{128}{2187} - 1)}{-\frac{1}{3}} = \frac{9(\frac{128 - 2187}{2187})}{-\frac{1}{3}} = \frac{9(-\frac{2059}{2187})}{-\frac{1}{3}} = \frac{-\frac{2059}{243}}{-\frac{1}{3}} = \frac{2059}{243} * 3 = \frac{2059}{81} ≈ 25.42\]