153 Докажите, что прямая а, проведенная в плоскости α через основание М наклонной АМ перпендикулярно к ней, перпендикулярна к ее проекции НМ (см. рис. 53). Решение Прямая а перпендикулярна к плоскости АМН, так как она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым этой плоскости

Дано: АМ - наклонная к плоскости α, НМ - проекция АМ на плоскость α, прямая а лежит в плоскости α, a ⊥ AM в точке М.

Доказать: a ⊥ HM.

Решение:

1. Т.к. АМ - наклонная к плоскости α, то АМ не лежит в плоскости α и не параллельна ей. Пусть АН - перпендикуляр, опущенный из точки А на плоскость α. Тогда Н - основание перпендикуляра, а отрезок АН ⊥ α.

2. Рассмотрим плоскость АМН. В этой плоскости лежат прямые АМ, АН и НМ, где НМ - проекция АМ на плоскость α.

3. По условию, прямая а лежит в плоскости α и перпендикулярна наклонной АМ в точке М, т.е. a ⊥ AM.

4. Т.к. АН перпендикулярна плоскости α, то АН ⊥ a (т.к. a лежит в α).

5. Прямая a перпендикулярна двум пересекающимся прямым АМ и АН, лежащим в плоскости АМН. Следовательно, прямая a перпендикулярна плоскости АМН.

6. Т.к. a ⊥ (АМН), то а перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности, a ⊥ HM.

Ответ: Доказано, что прямая а перпендикулярна к ее проекции НМ.