151 Прямая CD перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. До- кажите, что: а) треугольник АВС является проекцией треугольни- ка ABD на плоскость АВС; б) если СН – высота треугольника ABC, TO DH – высота треугольника АBD.

а) Доказательство:

Проекцией точки D на плоскость ABC является точка C, т.к. CD перпендикулярна плоскости ABC. Точки A и B лежат в плоскости ABC, следовательно, их проекциями на эту плоскость являются сами эти точки. Таким образом, проекцией треугольника ABD на плоскость ABC является треугольник ABC.

б) Доказательство:

Т.к. CH - высота треугольника ABC, то CH ⊥ AB. Т.к. CD перпендикулярна плоскости ABC, то CD перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности CD ⊥ AB.

Прямая AB перпендикулярна двум пересекающимся прямым CH и CD, лежащим в плоскости CDH. Следовательно, AB перпендикулярна плоскости CDH. Т.к. DH лежит в плоскости CDH, то AB ⊥ DH.

Рассмотрим треугольник ABD. DH лежит в этом треугольнике. Т.к. DH ⊥ AB, то DH является высотой треугольника ABD.

Ответ: доказано, что а) треугольник АВС является проекцией треугольника ABD на плоскость АВС; б) DH – высота треугольника АBD.