96. Докажите, что выражение 2x4(x – 5) – x³(-1 – 7x³) принимает неотрицательные значения значениях х.

Докажем, что выражение 2x⁴(x – 5) – x³(–1 – 7x³) принимает неотрицательные значения значениях х.

Раскроем скобки:

2x⁴ * x - 2x⁴ * 5 – x³ * (-1) – x³ * (-7x³) = 2x⁵ - 10x⁴ + x³ + 7x⁶.

Преобразуем выражение:

7x⁶ + 2x⁵ - 10x⁴ + x³ = x³(7x³ + 2x² - 10x + 1).

Рассмотрим выражение при x = 0:

0³(7 * 0³ + 2 * 0² - 10 * 0 + 1) = 0 * 1 = 0.

Рассмотрим выражение при x > 0:

Если x > 0, то x³ > 0 и (7x³ + 2x² - 10x + 1) > 0. Произведение двух положительных чисел положительно.

Рассмотрим выражение при x < 0:

Если x < 0, то x³ < 0. Докажем, что при x < 0 выражение (7x³ + 2x² - 10x + 1) < 0.

Так как предел выражения стремится к +∞, то можно сделать вывод, что при достаточно малых x выражение (7x³ + 2x² - 10x + 1) будет положительным, и, соответственно, x³(7x³ + 2x² - 10x + 1) < 0.

Ответ: Выражение не всегда принимает неотрицательные значения.