981. Докажите, что значение выражения: а) 83⁴ + 65 кратно 81; б) 141¹⁰ + 88 кратно 139.

Ответ: смотри решение

а) \[83^4 + 65 = (81 + 2)^4 + 65\]

\[(81 + 2)^4 = 81^4 + 4 \cdot 81^3 \cdot 2 + 6 \cdot 81^2 \cdot 2^2 + 4 \cdot 81 \cdot 2^3 + 2^4\]

\[(81 + 2)^4 + 65 = 81^4 + 4 \cdot 81^3 \cdot 2 + 6 \cdot 81^2 \cdot 2^2 + 4 \cdot 81 \cdot 2^3 + 16 + 65 = 81^4 + 4 \cdot 81^3 \cdot 2 + 6 \cdot 81^2 \cdot 2^2 + 4 \cdot 81 \cdot 2^3 + 81\]

Все члены делятся на 81, следовательно, выражение кратно 81.

б) \[141^{10} + 88 = (139 + 2)^{10} + 88\]

\[(139 + 2)^{10} = \sum_{k=0}^{10} \binom{10}{k} 139^{10-k} 2^k\]

Рассмотрим последний член: \[\binom{10}{10} 139^0 2^{10} = 2^{10} = 1024\]

\[1024 + 88 = 1112\]

\[1112 = 139 \cdot 8\]

Все остальные члены делятся на 139, значит, и вся сумма делится на 139.

Ответ: смотри решение