Докажите неравенство m² + 37n² + 12mn - 8n + 20 > 0.

Доказательство неравенства:

Разбираемся:

• Преобразуем выражение, выделив полные квадраты: \( m^2 + 12mn + 36n^2 + n^2 - 8n + 16 + 4 \)
• Запишем это как сумму квадратов: \( (m + 6n)^2 + (n - 4)^2 + 4 \)

Поскольку квадраты всегда неотрицательны, то \( (m + 6n)^2 \geq 0 \) и \( (n - 4)^2 \geq 0 \). Добавив 4, получим, что выражение всегда больше 0.

Следовательно, \( m^2 + 37n^2 + 12mn - 8n + 20 > 0 \) при любых значениях \( m \) и \( n \). Неравенство доказано.