256. Докажите неравенство о длине ломаной. Длина ломаной не меньше длины отрезка, соединяющего её концы.

Доказательство неравенства о длине ломаной: Рассмотрим ломаную A₁A₂...Aₙ. Длина ломаной равна сумме длин её звеньев: A₁A₂ + A₂A₃ + ... + Aₙ₋₁Aₙ. Нужно доказать, что A₁A₂ + A₂A₃ + ... + Aₙ₋₁Aₙ ≥ A₁Aₙ. Доказательство будем проводить методом математической индукции. 1. База индукции: для n = 2, ломаная состоит из одного звена A₁A₂, и утверждение очевидно: A₁A₂ = A₁A₂. 2. Шаг индукции: предположим, что для ломаной из n - 1 звена утверждение верно: A₁A₂ + A₂A₃ + ... + Aₙ₋₂Aₙ₋₁ ≥ A₁Aₙ₋₁. Докажем, что для ломаной из n звеньев утверждение тоже верно: A₁A₂ + A₂A₃ + ... + Aₙ₋₁Aₙ ≥ A₁Aₙ. Рассмотрим треугольник A₁Aₙ₋₁Aₙ. По неравенству треугольника, A₁Aₙ₋₁ + Aₙ₋₁Aₙ ≥ A₁Aₙ. Используя предположение индукции, имеем: A₁A₂ + A₂A₃ + ... + Aₙ₋₂Aₙ₋₁ + Aₙ₋₁Aₙ ≥ A₁Aₙ₋₁ + Aₙ₋₁Aₙ ≥ A₁Aₙ. Следовательно, A₁A₂ + A₂A₃ + ... + Aₙ₋₁Aₙ ≥ A₁Aₙ, что и требовалось доказать. Таким образом, длина ломаной всегда не меньше длины отрезка, соединяющего её концы.