258. Периметр равнобедренного треугольника равен 25 см, разность двух сторон равна 4 см, а один из его внешних углов — острый. Найдите стороны треугольника.

Пусть a, a и b - стороны равнобедренного треугольника. По условию, периметр равен 25 см, то есть: \(2a + b = 25\) (1) Разность двух сторон равна 4 см. Возможны два случая: 1) a - b = 4 или 2) b - a = 4 Рассмотрим случай 1: a - b = 4, откуда a = b + 4. Подставим это в уравнение (1): \(2(b + 4) + b = 25\) \(2b + 8 + b = 25\) \(3b = 17\) \(b = \frac{17}{3}\) Тогда \(a = \frac{17}{3} + 4 = \frac{17 + 12}{3} = \frac{29}{3}\) Стороны треугольника: \(\frac{29}{3}, \frac{29}{3}, \frac{17}{3}\) Проверим неравенство треугольника: \(\frac{29}{3} + \frac{17}{3} > \frac{29}{3}\) (\(\frac{46}{3} > \frac{29}{3}\)) - выполняется. Теперь рассмотрим случай 2: b - a = 4, откуда b = a + 4. Подставим это в уравнение (1): \(2a + a + 4 = 25\) \(3a = 21\) \(a = 7\) Тогда \(b = 7 + 4 = 11\) Стороны треугольника: 7, 7, 11. Проверим неравенство треугольника: 7 + 7 > 11 (14 > 11) - выполняется. В условии также сказано, что один из внешних углов острый. Это возможно только если один из внутренних углов тупой. В равнобедренном треугольнике это угол, противолежащий основанию. В первом случае такого быть не может, так как углы при основании острые. Значит, подходит только случай 7,7,11. Угол при вершине напротив основания длиной 11 будет тупым. Ответ: 7 см, 7 см, 11 см.