252. На рисунке 136 AB=AC, AP=AQ. Докажите, что: a) треугольник BOC равнобедренный; б) прямая OA проходит через середину основания BC и перпендикулярна к нему.

a) Поскольку AB = AC, треугольник ABC равнобедренный, и углы при основании равны: \(\angle ABC = \angle ACB\). Так как AP = AQ, треугольник APQ также равнобедренный, и \(\angle APQ = \angle AQP\). Поскольку \(\angle ABC = \angle ACB\) и \(\angle APQ = \angle AQP\), углы \(\angle PBC = \angle QCB\). Рассмотрим треугольник BOC. \(\angle OBC = \angle ABC - \angle ABO\) и \(\angle OCB = \angle ACB - \angle ACO\). Учитывая, что \(\angle ABC = \angle ACB\) и \(\angle ABO = \angle ACO\), получаем \(\angle OBC = \angle OCB\). Следовательно, треугольник BOC равнобедренный. б) В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) прямая OA является биссектрисой угла A. Биссектриса, проведенная из вершины равнобедренного треугольника к основанию, также является медианой и высотой. Следовательно, OA проходит через середину основания BC и перпендикулярна к нему.