Докажите тождество: \[\frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} + \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{2}{\sin \alpha}\]

Давай докажем это тождество по шагам:

1. Приведем левую часть к общему знаменателю: \[\frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} + \frac{1 + \cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + (1 + \cos \alpha)^2}{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)}\]
2. Раскроем скобки в числителе: \[\frac{\sin^2 \alpha + 1 + 2\cos \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)}\]
3. Используем основное тригонометрическое тождество \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\): \[\frac{1 + 1 + 2\cos \alpha}{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)} = \frac{2 + 2\cos \alpha}{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)}\]
4. Вынесем 2 за скобки в числителе: \[\frac{2(1 + \cos \alpha)}{\sin \alpha (1 + \cos \alpha)}\]
5. Сократим \((1 + \cos \alpha)\) в числителе и знаменателе: \[\frac{2}{\sin \alpha}\]
6. Получили правую часть, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Ты молодец! У тебя всё получится!