Решите неравенство: \[\frac{\lg x + 1}{4x-1} \le 0\]

Давай решим это неравенство по шагам:

1. Определим ОДЗ: \[x > 0\] и \[4x - 1
   eq 0 \Rightarrow x
   eq \frac{1}{4}\]
2. Приравняем числитель к нулю: \[\lg x + 1 = 0 \Rightarrow \lg x = -1 \Rightarrow x = 10^{-1} = \frac{1}{10} = 0.1\]
3. Приравняем знаменатель к нулю: \[4x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{4} = 0.25\]
4. Отметим точки на числовой прямой: 0, 0.1, 0.25.
5. Рассмотрим интервалы:
6. \((0; 0.1]\): возьмем \(x = 0.01\). Тогда \(\frac{\lg 0.01 + 1}{4 \cdot 0.01 - 1} = \frac{-2 + 1}{0.04 - 1} = \frac{-1}{-0.96} > 0\).
7. \([0.1; 0.25)\): возьмем \(x = 0.2\). Тогда \(\frac{\lg 0.2 + 1}{4 \cdot 0.2 - 1} = \frac{\lg 0.2 + 1}{0.8 - 1} = \frac{\lg 0.2 + 1}{-0.2} < 0\), так как \(\lg 0.2 \approx -0.69 < -1\).
8. \((0.25; +\infty)\): возьмем \(x = 1\). Тогда \(\frac{\lg 1 + 1}{4 \cdot 1 - 1} = \frac{0 + 1}{4 - 1} = \frac{1}{3} > 0\).

Итак, решением является интервал \([0.1; 0.25)\).

Ответ: \[x \in [0.1; 0.25)\]

Ты молодец! У тебя всё получится!