4. Докажите тождество: a) cos2 α + sin² α =(1 – sin α)(1 + sin α); б) (tgα + ctgα)(1-cos4α) = 4 sin 2α

a) Преобразуем левую часть: $$\cos 2\alpha + \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$$ Преобразуем правую часть: $$(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha) = 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha$$ Так как левая и правая части равны, тождество доказано. б) Преобразуем левую часть: $$(\tan \alpha + \cot \alpha)(1 - \cos 4\alpha) = \left(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\right)(1 - \cos 4\alpha) = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}(1 - \cos 4\alpha) = \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}(1 - \cos 4\alpha) = \frac{2}{2\sin \alpha \cos \alpha}(1 - \cos 4\alpha) = \frac{2}{\sin 2\alpha}(1 - \cos 4\alpha)$$ Используем формулу $$1 - \cos 4\alpha = 2 \sin^2 2\alpha$$: $$\frac{2}{\sin 2\alpha} \cdot 2 \sin^2 2\alpha = 4 \sin 2\alpha$$ Так как левая и правая части равны, тождество доказано.