8. Докажите тождество sina+tga 1+cosa = tga. (1 балл) Примерное время выполнения - 10 минут.

Доказать тождество: \[\frac{\sin a + tg a}{1 + \cos a} = tg a\]

Решение:

1. Преобразуем левую часть уравнения, выразив tg a через sin a и cos a: \[\frac{\sin a + \frac{\sin a}{\cos a}}{1 + \cos a}\]
2. Приведем числитель к общему знаменателю: \[\frac{\frac{\sin a \cdot \cos a + \sin a}{\cos a}}{1 + \cos a}\]
3. Вынесем sin a за скобки в числителе: \[\frac{\sin a (\cos a + 1)}{\cos a (1 + \cos a)}\]
4. Сократим (1 + cos a) в числителе и знаменателе: \[\frac{\sin a}{\cos a}\]
5. Получаем: \[tg a\]

Таким образом, левая часть уравнения равна правой части, что и требовалось доказать.