6. Найдите tgα, если cos α = √10 и α ∈ (0; ). (1 балл) Примерное время выполнения 6 минут. Ответ: 3

Дано: \[\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}}, \quad \alpha \in (0; \frac{\pi}{2})\]

Найти: \[\tan \alpha\]

Решение:

1. Находим sin α, используя основное тригонометрическое тождество: \[\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\]
2. Подставляем известное значение cos α: \[\sin^2 \alpha + \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2 = 1\] \[\sin^2 \alpha + \frac{1}{10} = 1\] \[\sin^2 \alpha = 1 - \frac{1}{10}\] \[\sin^2 \alpha = \frac{9}{10}\] \[\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{9}{10}}\]
   Показать почему выбираем положительное значение корня

   Так как α ∈ (0; π/2), то есть α находится в первой четверти, где синус положительный, выбираем положительное значение: \[\sin \alpha = \sqrt{\frac{9}{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}\]
3. Находим tan α, используя определение тангенса: \[\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\]
4. Подставляем значения sin α и cos α: \[\tan \alpha = \frac{\frac{3}{\sqrt{10}}}{\frac{1}{\sqrt{10}}}\] \[\tan \alpha = \frac{3}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{1}\] \[\tan \alpha = 3\]

Ответ: 3