10. Вычислите. (3 балла) Примерное время выполнения 15 минут. a) cos75° 6) 1 - 2sin215° B) 4sin² cos2 π 8 π 8 √6-√2 Ответ: а) б) √3 в) 0,5 4

a) Вычислить: cos 75°

1. Представим 75° как сумму углов 45° и 30°: \[cos 75^\circ = cos (45^\circ + 30^\circ)\]
2. Применим формулу косинуса суммы: \[cos (45^\circ + 30^\circ) = cos 45^\circ cos 30^\circ - sin 45^\circ sin 30^\circ\] \[= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}\] \[= \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\]

б) Вычислить: 1 - 2sin²15°

1. Используем формулу двойного угла для косинуса: \[cos 2x = 1 - 2sin^2 x\] В данном случае x = 15°. \[1 - 2sin^2 15^\circ = cos (2 \cdot 15^\circ) = cos 30^\circ\] \[cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

в) Вычислить: \[4sin^2\frac{\pi}{8}cos^2\frac{\pi}{8}\]

1. Используем формулу двойного угла для синуса: \[sin 2x = 2 sin x cos x\] Тогда: \[4sin^2\frac{\pi}{8}cos^2\frac{\pi}{8} = (2 sin\frac{\pi}{8} cos\frac{\pi}{8})^2 = (sin(2 \cdot \frac{\pi}{8}))^2 = (sin\frac{\pi}{4})^2\] \[(sin\frac{\pi}{4})^2 = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0.5\]

Ответ: а) \(\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\) б) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) в) 0.5