Досрок ОГЭ 21.04.2026 Задание 22. Постройте график функции y = (0.25x2-0.5x) x x-2 и определите, при каких значениях т прямая y = т не имеет с графиком ни одной общей точки?

Дана функция: $$y = rac{(0.25x^2 - 0.5x) · |x|}{x - 2}$$

1. Анализ функции:

Функция содержит переменную $$x$$ в знаменателе, поэтому $$x ≠ 2$$.

Функция также содержит модуль $$|x|$$. Разобьем решение на два случая:

Случай 1: $$x ≥ 0$$

В этом случае $$|x| = x$$. Подставим это в выражение для функции:

$$y = rac{(0.25x^2 - 0.5x) · x}{x - 2}$$

Вынесем $$0.25x$$ из скобок в числителе:

$$y = rac{0.25x(x - 2) · x}{x - 2}$$

При $$x ≠ 2$$, мы можем сократить $$(x - 2)$$:

$$y = 0.25x · x = 0.25x^2$$

Таким образом, для $$x ≥ 0$$ и $$x ≠ 2$$, график функции совпадает с графиком параболы $$y = 0.25x^2$$.

Случай 2: $$x < 0$$

В этом случае $$|x| = -x$$. Подставим это в выражение для функции:

$$y = rac{(0.25x^2 - 0.5x) · (-x)}{x - 2}$$

Вынесем $$0.25x$$ из скобок в числителе:

$$y = rac{0.25x(x - 2) · (-x)}{x - 2}$$

При $$x ≠ 2$$, мы можем сократить $$(x - 2)$$:

$$y = 0.25x · (-x) = -0.25x^2$$

Таким образом, для $$x < 0$$, график функции совпадает с графиком параболы $$y = -0.25x^2$$.

2. Построение графика:

График функции состоит из двух частей парабол:

• Для $$x ≥ 0$$ и $$x ≠ 2$$: $$y = 0.25x^2$$. Это ветвь параболы $$y = x^2$$, сжатая по оси Y в 4 раза.
• Для $$x < 0$$: $$y = -0.25x^2$$. Это ветвь параболы $$y = -x^2$$, сжатая по оси Y в 4 раза.

Важные точки:

• Точка $$x=2$$ является недопустимой. Найдем значение $$y$$ в этой точке для каждой части:

  Если бы мы подставили $$x=2$$ в $$y = 0.25x^2$$, получили бы $$y = 0.25 imes 2^2 = 0.25 imes 4 = 1$$. Следовательно, на графике будет выколотая точка (2, 1).

• На оси Y (при $$x=0$$), обе части параболы пересекаются в точке (0, 0).

3. Определение значений $$m$$, при которых прямая $$y = m$$ не имеет общих точек с графиком:

Прямая $$y = m$$ является горизонтальной линией. Она будет не иметь общих точек с графиком функции, если значение $$m$$ будет находиться ниже минимального значения функции или выше максимального значения, при этом учитывая выколотую точку.

Рассмотрим поведение обеих частей параболы:

• $$y = 0.25x^2$$ (для $$x ≥ 0, x ≠ 2$$):

  Минимальное значение здесь достигается при $$x=0$$, $$y=0$$.

  Значение в выколотой точке: $$y = 1$$.

  Следовательно, эта часть графика принимает все значения $$y ≥ 0$$, кроме $$y = 1$$.

• $$y = -0.25x^2$$ (для $$x < 0$$):

  Эта часть параболы направлена вниз. Максимальное значение достигается при $$x → -∞$$ (стремится к $$-∞$$), а минимальное значение — $$0$$ при $$x=0$$.

  Следовательно, эта часть графика принимает все значения $$y ≤ 0$$.

Объединяем:

• График функции охватывает все значения $$y ≤ 0$$.
• График функции охватывает все значения $$y > 0$$, кроме $$y = 1$$.

Прямая $$y = m$$ не будет иметь общих точек с графиком, если $$m$$ принимает значение, которое отсутствует на графике. В данном случае, это значение $$m=1$$, которое соответствует выколотой точке, и значения $$m < 0$$, которые не достигаются частью графика $$y=0.25x^2$$ для $$x ≥ 0$$, но достигаются частью $$y=-0.25x^2$$ для $$x<0$$.

Таким образом, прямая $$y = m$$ не будет иметь общих точек с графиком, если $$m$$ не входит в диапазон значений функции.

Диапазон значений функции: $$(-∞, 0] ∪ (0, 1) ∪ (1, +∞)$$.

Значение $$m=1$$ не входит в диапазон значений функции, так как это значение соответствует выколотой точке.

Ответ: 1