103. Два игральных кубика бросают 7 раз. Найдите вероятности событий: а) сумма 7 выпадет по крайней мере дважды; б) сумма 12 выпадет по крайней мере дважды; в) сумма 6 выпадет 6 раз.

Решение:

Для двух игральных кубиков:

a) Сумма 7 может выпасть следующими способами: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Всего 6 вариантов. Общее количество вариантов: 36. Вероятность $$p = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$. Количество испытаний n = 7.

Надо найти вероятность, что сумма 7 выпадет по крайней мере 2 раза. $$P(k \geq 2) = 1 - P(0) - P(1)$$.

$$P(0) = C_7^0 \cdot (\frac{1}{6})^0 \cdot (\frac{5}{6})^7 = 1 \cdot 1 \cdot (\frac{5}{6})^7 = 0.2791$$

$$P(1) = C_7^1 \cdot (\frac{1}{6})^1 \cdot (\frac{5}{6})^6 = 7 \cdot \frac{1}{6} \cdot (\frac{5}{6})^6 = 0.3907$$

$$P(k \geq 2) = 1 - 0.2791 - 0.3907 = 0.3302$$

б) Сумма 12 может выпасть только одним способом: (6,6). Вероятность $$p = \frac{1}{36}$$. Количество испытаний n = 7.

Надо найти вероятность, что сумма 12 выпадет по крайней мере 2 раза. $$P(k \geq 2) = 1 - P(0) - P(1)$$.

$$P(0) = C_7^0 \cdot (\frac{1}{36})^0 \cdot (\frac{35}{36})^7 = 1 \cdot 1 \cdot (\frac{35}{36})^7 = 0.8255$$

$$P(1) = C_7^1 \cdot (\frac{1}{36})^1 \cdot (\frac{35}{36})^6 = 7 \cdot \frac{1}{36} \cdot (\frac{35}{36})^6 = 0.1629$$

$$P(k \geq 2) = 1 - 0.8255 - 0.1629 = 0.0116$$

в) Вероятность, что сумма 6 выпадет 6 раз. Сумма 6 может выпасть следующими способами: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1). Всего 5 вариантов. Общее количество вариантов: 36. Вероятность $$p = \frac{5}{36}$$. Количество испытаний n = 7. Нужно найти $$P(6)$$.

$$P(6) = C_7^6 \cdot (\frac{5}{36})^6 \cdot (\frac{31}{36})^1 = 7 \cdot (\frac{5}{36})^6 \cdot (\frac{31}{36})^1 = 0.00002$$

Ответ: а) 0.3302; б) 0.0116; в) 0.00002