104. В гараже есть 12 автомобилей. Вероятность выхода на линию каждого из них равна 0,9. Найдите вероятность нормальной работы гаража в ближайший день, если для этого необходимо иметь на линии не менее 10 автомобилей.

Решение:

Всего автомобилей в гараже: $$n = 12$$.

Вероятность выхода на линию каждого автомобиля: $$p = 0.9$$.

Вероятность того, что автомобиль не выйдет на линию: $$q = 1 - p = 0.1$$.

Необходимо, чтобы на линии было не менее 10 автомобилей, то есть 10, 11 или 12.

Используем формулу Бернулли: $$P(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$, где $$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$.

$$P(k \geq 10) = P(10) + P(11) + P(12)$$.

$$P(10) = C_{12}^{10} \cdot (0.9)^{10} \cdot (0.1)^2 = \frac{12!}{10!2!} \cdot (0.9)^{10} \cdot (0.1)^2 = 66 \cdot 0.3487 \cdot 0.01 = 0.2301$$

$$P(11) = C_{12}^{11} \cdot (0.9)^{11} \cdot (0.1)^1 = \frac{12!}{11!1!} \cdot (0.9)^{11} \cdot (0.1)^1 = 12 \cdot 0.3138 \cdot 0.1 = 0.3766$$

$$P(12) = C_{12}^{12} \cdot (0.9)^{12} \cdot (0.1)^0 = \frac{12!}{12!0!} \cdot (0.9)^{12} \cdot 1 = 1 \cdot 0.2824 \cdot 1 = 0.2824$$

$$P(k \geq 10) = 0.2301 + 0.3766 + 0.2824 = 0.8891$$

Ответ: 0.8891