107. В предыдущей задаче к каждому вопросу предлагается 4 варианта ответа, из которых любое количество могут быть верными (в том числе ни одного). Ответ считается верным, если указаны все правильные варианты и ни одного неправильного. С какой вероятностью ученик, не знающий предмета, правильно ответит хотя бы на один вопрос?

Решение:

Количество вопросов: 10.

Каждый вопрос имеет 4 варианта ответа, и любое их количество может быть верным.

Для каждого варианта ответа есть 2 возможности: выбрать его или не выбрать. Следовательно, общее количество возможных комбинаций ответов на один вопрос: $$2^4 = 16$$.

Только одна из этих комбинаций является полностью правильной.

Вероятность правильно ответить на один вопрос: $$p = \frac{1}{16}$$.

Вероятность неправильно ответить на один вопрос: $$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$$.

Вероятность неправильно ответить на все 10 вопросов: $$(\frac{15}{16})^{10} = 0.5244$$

Вероятность правильно ответить хотя бы на один вопрос: $$P(\text{хотя бы один правильный ответ}) = 1 - (\frac{15}{16})^{10} = 1 - 0.5244 = 0.4756$$

Ответ: 0.4756