102. Стрелок попадает в цель с вероятностью 0,25. Он сделал 5 выстрелов по мишени. Найдите вероятности событий: а) он ни разу не попал; б) произошло ровно одно попадание; в) произошло ровно два попадания; г) произошло хотя бы одно попадание; д) произошло не менее трёх попаданий.

Решение:

Вероятность попадания в цель: $$p = 0.25$$.

Вероятность промаха: $$q = 1 - p = 1 - 0.25 = 0.75$$.

Количество выстрелов: $$n = 5$$.

Используем формулу Бернулли: $$P(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$, где $$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$.

1. а) Он ни разу не попал, то есть $$k = 0$$:

   $$P(0) = C_5^0 \cdot (0.25)^0 \cdot (0.75)^5 = 1 \cdot 1 \cdot (0.75)^5 = 0.2373$$

2. б) Произошло ровно одно попадание, то есть $$k = 1$$:

   $$P(1) = C_5^1 \cdot (0.25)^1 \cdot (0.75)^4 = 5 \cdot 0.25 \cdot (0.75)^4 = 0.3955$$

3. в) Произошло ровно два попадания, то есть $$k = 2$$:

   $$P(2) = C_5^2 \cdot (0.25)^2 \cdot (0.75)^3 = 10 \cdot (0.25)^2 \cdot (0.75)^3 = 0.2637$$

4. г) Произошло хотя бы одно попадание:

   Вероятность противоположного события (ни одного попадания) уже найдена в пункте а). Следовательно, вероятность хотя бы одного попадания:

   $$P(\text{хотя бы одно}) = 1 - P(0) = 1 - 0.2373 = 0.7627$$

5. д) Произошло не менее трёх попаданий, то есть $$k \geq 3$$:

   $$P(k \geq 3) = P(3) + P(4) + P(5)$$.

   $$P(3) = C_5^3 \cdot (0.25)^3 \cdot (0.75)^2 = 10 \cdot (0.25)^3 \cdot (0.75)^2 = 0.0879$$

   $$P(4) = C_5^4 \cdot (0.25)^4 \cdot (0.75)^1 = 5 \cdot (0.25)^4 \cdot 0.75 = 0.0146$$

   $$P(5) = C_5^5 \cdot (0.25)^5 \cdot (0.75)^0 = 1 \cdot (0.25)^5 \cdot 1 = 0.0010$$

   $$P(k \geq 3) = 0.0879 + 0.0146 + 0.0010 = 0.1035$$

Ответ: а) 0.2373; б) 0.3955; в) 0.2637; г) 0.7627; д) 0.1035