493. Две бригады, работая вместе, могут выполнить производственное задание за 8 дней. Если первая бригада, работая самостоятельно, выполнит \(\frac{1}{3}\) задания, а затем её сменит вторая бригада, то задание будет выполнено за 20 дней. За сколько дней каждая бригада может выполнить данное производственное задание, работая самостоятельно?

Решение: Пусть (x) - время, за которое первая бригада выполнит задание самостоятельно, а (y) - время, за которое вторая бригада выполнит задание самостоятельно. Тогда (\frac{1}{x}\) - производительность первой бригады, (\frac{1}{y}\) - производительность второй бригады. Вместе они выполняют задание за 8 дней: (\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8}\). Первая бригада выполнила \(\frac{1}{3}\) задания, работая какое-то время (t): (\frac{t}{x} = \frac{1}{3}\). Вторая бригада выполнила оставшиеся \(\frac{2}{3}\) задания, работая 20 - (t) дней: (\frac{20-t}{y} = \frac{2}{3}\). Выразим (t) из первого уравнения: (t = \frac{x}{3}\). Подставим во второе уравнение: (\frac{20 - \frac{x}{3}}{y} = \frac{2}{3}\). (20 - \frac{x}{3} = \frac{2y}{3}\), (60 - x = 2y), (x = 60 - 2y). Подставим (x) в первое уравнение: (\frac{1}{60-2y} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8}\). (\frac{y + 60 - 2y}{y(60-2y)} = \frac{1}{8}\), (\frac{60-y}{60y - 2y^2} = \frac{1}{8}\). (8(60-y) = 60y - 2y^2), (480 - 8y = 60y - 2y^2). (2y^2 - 68y + 480 = 0), (y^2 - 34y + 240 = 0). (D = (-34)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 240 = 1156 - 960 = 196). \(\sqrt{D} = 14\). (y_1 = \frac{34 + 14}{2} = 24), (y_2 = \frac{34 - 14}{2} = 10). Если (y = 24), то (x = 60 - 2 \cdot 24 = 60 - 48 = 12). Если (y = 10), то (x = 60 - 2 \cdot 10 = 60 - 20 = 40). Ответ: Первая бригада может выполнить задание за 12 дней, а вторая - за 24 дня, или первая бригада может выполнить задание за 40 дней, а вторая - за 10 дней.