490. От станции M в направлении станции N, расстояние между которыми равно 450 км, отправился скорый поезд. Через 3 ч после этого от станции N в направлении станции M отправился товарный поезд, который встретился со скорым через 3 ч после своего выхода. Скорый поезд преодолевает расстояние между станциями M и N на 7 ч 30 мин быстрее, чем товарный. Найдите скорость каждого поезда.

Решение: Пусть (v_1) - скорость скорого поезда, (v_2) - скорость товарного поезда. Время, которое скорый поезд был в пути до встречи, равно 3 + 3 = 6 ч. Время, которое товарный поезд был в пути до встречи, равно 3 ч. Расстояние, которое проехал скорый поезд до встречи: (6v_1). Расстояние, которое проехал товарный поезд до встречи: (3v_2). Сумма расстояний равна 450 км: (6v_1 + 3v_2 = 450). Дано, что скорый поезд проезжает расстояние между станциями на 7 ч 30 мин (7.5 ч) быстрее, чем товарный. Обозначим время, которое товарный поезд проезжает это расстояние, как (t). Тогда (t - 7.5) - время скорого поезда. Отсюда, (v_1 = \frac{450}{t-7.5}) и (v_2 = \frac{450}{t}). Подставим скорости в первое уравнение: (6 \cdot \frac{450}{t-7.5} + 3 \cdot \frac{450}{t} = 450). Разделим обе части на 450: (\frac{6}{t-7.5} + \frac{3}{t} = 1). Приведем к общему знаменателю: (\frac{6t + 3(t-7.5)}{t(t-7.5)} = 1). (6t + 3t - 22.5 = t^2 - 7.5t). (t^2 - 16.5t + 22.5 = 0). Решим квадратное уравнение. (D = (-16.5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 22.5 = 272.25 - 90 = 182.25). \(\sqrt{D} = 13.5\). (t_1 = \frac{16.5 + 13.5}{2} = 15), (t_2 = \frac{16.5 - 13.5}{2} = 1.5) (не подходит, т.к. тогда время скорого поезда отрицательное). Значит, товарный поезд проходит расстояние за 15 ч, а скорый - за 15 - 7.5 = 7.5 ч. (v_1 = \frac{450}{7.5} = 60) км/ч. (v_2 = \frac{450}{15} = 30) км/ч. Ответ: Скорость скорого поезда 60 км/ч, скорость товарного поезда 30 км/ч.