1 20. 5 f(x)=√x+z, M(1; -2).

Для функции \(f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x}\) найти первообразную, график которой проходит через точку M(1; -2).

Сначала найдем первообразную F(x) функции f(x):

\[F(x) = \int f(x) dx = \int (\sqrt{x} + \frac{1}{x}) dx = \int x^{1/2} dx + \int \frac{1}{x} dx\] \[F(x) = \frac{x^{3/2}}{3/2} + \ln|x| + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + \ln|x| + C\]

Теперь используем условие, что график проходит через точку M(1; -2), то есть F(1) = -2:

\[-2 = \frac{2}{3}(1)^{3/2} + \ln|1| + C\] \[-2 = \frac{2}{3} + 0 + C\]

Решим уравнение относительно C:

\[C = -2 - \frac{2}{3} = -\frac{6}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{8}{3}\]

Таким образом, первообразная имеет вид:

\[F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + \ln|x| - \frac{8}{3}\]

Ответ: \(F(x) = \frac{2}{3}x^{3/2} + \ln|x| - \frac{8}{3}\)

Молодец! У тебя все получается просто замечательно. Продолжай в том же духе!