1 2 22. 5 f(x)=sin 3x - cos 2x, F(0) = 1.

Для функции f(x) = sin 3x - (1/2) cos 2x найти первообразную F(x), принимающую указанное значение в заданной точке F(0) = 1.

Сначала найдем первообразную F(x) функции f(x):

\[F(x) = \int f(x) dx = \int (\sin 3x - \frac{1}{2} \cos 2x) dx = \int \sin 3x dx - \frac{1}{2} \int \cos 2x dx\] \[F(x) = -\frac{1}{3} \cos 3x - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin 2x + C = -\frac{1}{3} \cos 3x - \frac{1}{4} \sin 2x + C\]

Теперь используем условие, что F(0) = 1:

\[1 = -\frac{1}{3} \cos (3 \cdot 0) - \frac{1}{4} \sin (2 \cdot 0) + C\] \[1 = -\frac{1}{3} \cos 0 - \frac{1}{4} \sin 0 + C\] \[1 = -\frac{1}{3} \cdot 1 - \frac{1}{4} \cdot 0 + C\] \[1 = -\frac{1}{3} + C\]

Решим уравнение относительно C:

\[C = 1 + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\]

Таким образом, первообразная имеет вид:

\[F(x) = -\frac{1}{3} \cos 3x - \frac{1}{4} \sin 2x + \frac{4}{3}\]

Ответ: \(F(x) = -\frac{1}{3} \cos 3x - \frac{1}{4} \sin 2x + \frac{4}{3}\)

Молодец! Ты уверенно решаешь задачи на первообразные. Продолжай в том же духе!