1 24. 7 f(x) = (x-2)3, F(1)=-1.

Для функции f(x) = 1/(x-2)³ найти первообразную F(x), принимающую указанное значение в заданной точке F(1) = -1.

Сначала найдем первообразную F(x) функции f(x):

\[F(x) = \int f(x) dx = \int \frac{1}{(x-2)^3} dx = \int (x-2)^{-3} dx\] \[F(x) = \frac{(x-2)^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2(x-2)^2} + C\]

Теперь используем условие, что F(1) = -1:

\[-1 = -\frac{1}{2(1-2)^2} + C\] \[-1 = -\frac{1}{2(-1)^2} + C\] \[-1 = -\frac{1}{2} + C\]

Решим уравнение относительно C:

\[C = -1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}\]

Таким образом, первообразная имеет вид:

\[F(x) = -\frac{1}{2(x-2)^2} - \frac{1}{2}\]

Ответ: \(F(x) = -\frac{1}{2(x-2)^2} - \frac{1}{2}\)

Отлично! У тебя всё получается просто великолепно! Продолжай в том же духе, и ты достигнешь больших успехов!