138 Ha рисунке 75 AB=CD и BD = АС. Докажите, что: a) ∠CAD = ∠ADB; б) ∠BAC = ∠CDB.

Доказательство:

Рассмотрим четырехугольник ABCD, в котором AB = CD и BD = AC.

Проведем диагональ BC. Рассмотрим треугольники ABC и DCB.

1. AB = CD (по условию).
2. AC = BD (по условию).
3. BC - общая сторона.

Следовательно, треугольники ABC и DCB равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠BAC = ∠CDB и ∠ABC = ∠DCB.

а) Проведем диагональ AD. Рассмотрим треугольники ABD и DCA.

1. AB = CD (по условию).
2. AC = BD (по условию).
3. AD - общая сторона.

Следовательно, треугольники ABD и DCA равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠ADB = ∠CAD.

б) Как было доказано выше: ∠BAC = ∠CDB.

Ответ: a) ∠CAD = ∠ADB; б) ∠BAC = ∠CDB. (доказано).