139 На рисунке 76 AB = CD, AD = BC, ВЕ — биссектриса угла ABC, a DF — биссектриса угла ADC. Докажите, что: a) ∠ABE = ∠ADF; б) ДАВЕ = △CDF.

Дано: AB = CD, AD = BC, BE - биссектриса ∠ABC, DF - биссектриса ∠ADC.

Доказать: a) ∠ABE = ∠ADF; б) △ABE = △CDF.

Доказательство:

Рассмотрим четырехугольник ABCD. Так как AB = CD и AD = BC, то этот четырехугольник является параллелограммом. В параллелограмме противоположные углы равны, то есть ∠ABC = ∠ADC.

а) Так как BE и DF — биссектрисы углов ABC и ADC соответственно, то ∠ABE = 1/2 ∠ABC и ∠ADF = 1/2 ∠ADC. Поскольку ∠ABC = ∠ADC, то 1/2 ∠ABC = 1/2 ∠ADC. Следовательно, ∠ABE = ∠ADF.

б) Рассмотрим треугольники ABE и CDF:

1. AB = CD (по условию).
2. ∠ABE = ∠CDF (как доказано в пункте а).
3. ∠BAE = ∠DCF (как углы при параллельных прямых).

Ошибка! ∠BAE = ∠DCF не являются соответствующими углами при параллельных прямых!

Вторая попытка. Снова треугольники ABE и CDF:

1. AB = CD (по условию).
2. ∠ABE = ∠CDF (как доказано в пункте а).
3. AD = BC (по условию).

Ошибка! AD и BC - это не стороны треугольников ABE и CDF!

Пробуем другой метод доказательства пункта б.

Так как в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны (∠ABC = ∠ADC), а BE и DF биссектрисы этих углов, то ∠ABE = ∠CBE = ∠ADF = ∠CDF. Также, так как AD = BC и AB = CD, углы BAD и DCB так же равны. Признаки равенства треугольников не работают.

Ответ: a) ∠ABE = ∠ADF (доказано); б) △ABE = △CDF (нет оснований для доказательства равенства).