i. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OAB равен 25°. Найдите величину угла OCD.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник OAB. Так как OA и OB — радиусы одной окружности, треугольник OAB равнобедренный. Следовательно, \( \angle OBA = \angle OAB = 25° \).

2. Угол AOC является смежным с углом OAB и OBA, а также является центральным углом, опирающимся на дугу AC. Угол AOB равен \( 180° - (25° + 25°) = 180° - 50° = 130° \) (сумма углов треугольника).

3. Угол BOC является смежным с углом AOB. \( \angle BOC = 180° - \angle AOB = 180° - 130° = 50° \).

4. Рассмотрим треугольник OCD. Так как OC и OD — радиусы одной окружности, треугольник OCD равнобедренный. Угол COD является вертикальным углом к углу AOB, поэтому \( \angle COD = \angle AOB = 130° \).

5. В равнобедренном треугольнике OCD, \( \angle OCD = \angle ODC = \frac{180° - \angle COD}{2} = \frac{180° - 130°}{2} = \frac{50°}{2} = 25° \).

Альтернативный способ:

1. Так как AD и BC — диаметры, углы AOB и COD — вертикальные, а углы BOC и AOD — вертикальные. Углы OAB и OBA равны по 25° (треугольник OAB — равнобедренный).

2. Угол AOC = \( 180° - (25° + 25°) = 130° \).

3. Угол BOC = \( 180° - 130° = 50° \).

4. Треугольник OCD равнобедренный (OC = OD — радиусы). Угол COD = \( 180° - 50° = 130° \) (смежный с BOC).

5. \( \angle OCD = \angle ODC = \frac{180° - 130°}{2} = 25° \).

Ответ: 25°