I вариант. 4*. В треугольнике ABC O — точка пересечения медиан. Выразите вектор AO через векторы a = AB и b = AC.

Обозначим через M середину BC. Тогда \(\overrightarrow{AM}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac12(\vec a+\vec b)\). Центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому \(\overrightarrow{AO}=\frac23\overrightarrow{AM}\).

Следовательно, \(\overrightarrow{AO}=\frac23\cdot\frac12(\vec a+\vec b)=\frac13(\vec a+\vec b)\).

Ответ: \(\overrightarrow{AO}=\frac13(\vec a+\vec b)\).